הצגת המקור של הדף "רדיקל ג'ייקובסון"

'''רדיקל ג'ייקובסון''' של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הוא [[אידיאל (תורת החוגים)|אידיאל]] השווה לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של החוג. ההגדרות השקולות הרבות הופכות את רדיקל ג'ייקובסון ל[[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקל]] החשוב ביותר ב[[תורת החוגים]]. כמו ברדיקלים אחרים, תפקידו של רדיקל ג'ייקובסון לתפוס את כל האיברים ה"קרובים" לאיבר האפס. לדוגמה, ב[[חוג קומוטטיבי]], כל ה[[איבר נילפוטנטי|איברים הנילפוטנטים]] שייכים לרדיקל, ואם החוג גם [[אלגברה אפינית|נוצר סופית]], הרדיקל עצמו [[אידיאל נילפוטנטי|נילפוטנטי]].

חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא [[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבי למחצה]], והמנה ביחס לרדיקל היא תמיד כזו. כל [[חוג פרימיטיבי]] הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא [[חוג ראשוני למחצה|ראשוני למחצה]].

נקרא על שם המתמטיקאי האמריקאי [[נתן ג'ייקובסון]].

==הגדרה==
===הגדרה באמצעות מאפסים של מודולים פשוטים===

מודול M מעל חוג R הוא [[מודול פשוט|פשוט]] אם אין לו תת-מודולים אמיתיים. ה'''מאפס''' של M (מסומן ב-(ann(M) הוא אוסף האיברים ב-R המאפסים את M, כלומר <math>\,ann(M) = \{x\in R:xM = 0\}</math>; המאפס של כל מודול הוא [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל שמאלי]].

'''רדיקל ג'ייקובסון''' של ''R'' (המסומן ב-''(J(R'', ולפעמים ב-''(rad(R'') שווה לחיתוך המאפסים של המודולים הפשוטים מעל ''R''. במילים אחרות, לרדיקל שייכים האיברים של R המאפסים את כל המודולים הפשוטים.

===הגדרה באמצעות אידיאלים שמאליים מקסימלים===

כל מודול פשוט ''M'' מעל חוג ''R'' הוא מהצורה <math>\,R/m</math> כאשר ''m'' הוא אידיאל שמאלי מקסימלי, וגם ההפך נכון. המאפס של מודול מהצורה <math>\,R/m</math> שווה ל-''m'', ולכן קבוצת המאפסים של כל המודולים הפשוטים מעל חוג ''R'' שווה בדיוק לאוסף כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. לכן הרדיקל שהוגדר לעיל שווה גם לחיתוך כל האידיאלים המקסימלים השמאליים בחוג. 

יתרונה של ההגדרה הזו בכך שהיא "פנימית": היא תלויה רק במבנה של ''R'' עצמו, ואינה דורשת בניה של מודולים מעל ''R''. בנוסף, על אף שההגדרה אינה סימטרית, בכך שהיא מתמקדת באידיאלים מקסימלים שמאליים ולא ימניים, ניתן להוכיח כי שחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימלים שווה לחיתוך האידיאלים הימניים המקסימלים. בפרט, רדיקל ג'ייקובסון של חוג הוא תמיד אידיאל דו-צדדי.

=== הגדרה באמצעות אידיאלים פרימיטיביים ===

אידיאל של חוג הוא '''פרימיטיבי''' אם חוג המנה [[חוג פרימיטיבי|פרימיטיבי]], כלומר יש לו מודול פשוט [[מודול נאמן|נאמן]]. רדיקל ג'ייקובסון שווה לחיתוך על האידיאלים הפרימיטיביים (ומכאן שאם החוג פרימיטיבי, הרדיקל שלו מתאפס).

===הגדרה באמצעות איברים לא-יוצרים===

איבר ''x'' של ''R'' הוא '''לא-יוצר''' אם אין אידיאל שמאלי אמיתי <math>\ L<R</math> כך ש- <math>\,L+Rx=R</math> (במלים אחרות, x יוצר [[תת-מודול קטן]] של R, כמודול מעל עצמו). אוסף האיברים הלא יוצרים (שהוא סכום תת-המודולים הקטנים) שווה לרדיקל ג'ייקובסון של החוג.

===הגדרה באמצעות איברים קוואזי-הפיכים===

אם <math>\ 1-z</math> [[איבר הפיך|הפיך משמאל]] בחוג, אומרים ש-z '''קוואזי-הפיך''' (משמאל). אידיאל קוואזי-הפיך הוא אידיאל שכל האיברים שלו קוואזי-הפיכים. 

רדיקל ג'ייקובסון הוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. ('''הוכחה''': אם y איבר של הרדיקל אז הוא שייך לכל אידיאל שמאלי מקסימלי, ולכן <math>\ 1-y</math> אינו שייך לאף אידיאל מקסימלי, ומכאן שהוא הפיך משמאל. כלומר, הרדיקל קוואזי-הפיך. מאידך, יהי L אידיאל שמאלי קוואזי-הפיך, אז הוא מוכל בכל אידיאל שמאלי מקסימלי, משום שאחרת יש <math>\ x \in L</math> שאינו ב-m, ואז <math>\ 1 \in m + Rx</math>, כלומר <math>\ 1-yx \in m</math> עבור y מתאים, בסתירה לכך ש-<math>\ 1-yx</math> הפיך משמאל.)

בחוג עם יחידה, האיבר x הוא קוואזי-הפיך משמאל אם יש איבר y כך ש-<math>\ (1-y)(1-x)=1</math>, כלומר <math>\ x+y-xy=0</math>. אפשר לאמץ הגדרה זו גם אם בחוג אין יחידה: x הוא קוואזי-הפיך אם יש איבר y כך ש-<math>\ x+y-xy=0</math>. משום כך, גם בחוג שאין בו יחידה, רדיקל ג'ייקובסון מוגדר כאידיאל השמאלי הקוואזי-הפיך הגדול ביותר. חוג נקרא "רדיקל ג'ייקובסון" אם הוא שווה לרדיקל של עצמו.

==דוגמאות==
* אם ''k'' הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או באופן יותר כללי - [[חוג עם חילוק]]), אז אין לו אידיאלים שמאליים מקסימלים, ולכן הרדיקל שלו הוא אפס.
* בחוג חילופי, כל אידיאל שמאלי הוא אידיאל, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של שווה לחיתוך האידיאלים המקסימלים.
* בחוג [[מספר שלם|המספרים השלמים]] <math>\,\mathbb{Z}</math>, האידיאלים המקסימלים הם האידיאלים <math>\,p\mathbb{Z}</math>, כאשר ''p'' הוא [[מספר ראשוני]]. לכן, מספר שלם שייך לרדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים, אם ורק אם הוא מתחלק בכל מספר ראשוני, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג השלמים שווה ל-''0''.
* הרדיקל של חוג הפולינומים מעל תחום שלמות הוא אפס.
* אם ''R'' הוא [[חוג מקומי]] (חילופי) אז ל-''R'' אידיאל מקסימלי יחיד ''m'', ולכן <math>\,J(R) = m</math>.
* אם <math>e \in R</math> הוא [[אידמפוטנט]], אז <math>\ J(eRe) = eRe \cap J(R) = eJ(R)e</math>{{הערה|A First Course in Noncommutative Rings, Tsi-Yuen Lam, משפט 21.10}}. בפרט, לכל חוג R, <math>\ J(\operatorname{M}_n(R)) = \operatorname{M}_n(J(R))</math>.

== תכונות של הרדיקל ==

הרדיקל תורשתי: לכל אידיאל I של חוג R מתקיים <math>\ J(I) = I \cap J(R)</math>. 

רדיקל ג'ייקובסון מכיל כל אידיאל שמאלי נילי (משום שאיברים ניליים הם קוואזי-הפיכים), ולכן גם את הרדיקל הנילי העליון של החוג. אחת השאלות העיקריות באשר לרדיקל ג'ייקובסון היא מתי הוא בעצמו נילי (וטוב יותר - נילפוטנטי). הרדיקל אינו מוכרח להיות נילי (למשל, הרדיקל של [[תחום שלמות]] [[חוג מקומי|מקומי]] שווה לאידיאל המקסימלי שלו, ואין בו מחלקי אפס). 

בהקשר זה הוכיח [[שמשון עמיצור]] שאם R הוא אלגברה מעל שדה k שעוצמתו גדולה מן המימד של R מעליו, אז הרדיקל נילי, וכן שרדיקל ג'ייקובסון של חוג פולינומים <math>\ R[x]</math> הוא תמיד מהצורה <math>\ I[x]</math> כאשר I אידיאל נילי של R.

רדיקל ג'ייקובסון אינו מכיל אידמפוטנטים (פרט כמובן לאפס). אם R הוא [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל שדה, ה[[איבר אלגברי|איברים האלגבריים]] ברדיקל הם כולם נילפוטנטים.

אחד השימושים הראשונים לרדיקל היה תנאי הקומוטטיביות של ג'ייקובסון (1945): חוג שבו לכל איבר a יש n כך ש-<math>\ a^n=a</math>, הוא קומוטטיבי.

ב[[אלגברה מדורגת|אלגברות מדורגות]], רדיקל ג'ייקובסון הוא הומוגני ומדורג-נילי (כלומר, כל אבר הומוגני ברדיקל הוא נילפוטנטי). ההפך אינו נכון: קיימת אלגברה נוצרת סופית, [[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבית למחצה]] ומדורגת-נילית.
אם אלגברה [[חוג ראשוני|ראשונית]] מדורגת על ידי [[חוג המספרים השלמים|חבורת המספרים השלמים]], ונוצרת על ידי איברים מדרגות 0,1 ו-1- אז רדיקל ג'ייקובסון שלה הוא אפס.

== פרימיטיביות למחצה ==
{{ערך מורחב|חוג פרימיטיבי למחצה}}
חוג ''R'' נקרא [[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבי למחצה]] (לפעמים גם "J-פשוט למחצה") אם רדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס. כל [[חוג פרימיטיבי]] הוא פרימיטיבי למחצה, וכל חוג פרימיטיבי למחצה הוא [[חוג ראשוני למחצה|ראשוני למחצה]]. יש חוגים ראשוניים שאינם פרימיטיביים למחצה (למשל - [[חוג השלמים ה-p-אדיים]]), חוגים פרימיטיביים למחצה שאינם ראשוניים (למשל <math>\ \mathbb{Q}\oplus \mathbb{Q}</math>), וחוגים ראשוניים ופרימיטיביים למחצה שאינם פרימיטיביים (למשל חוג הפולינומים מעל שדה).

לפי התוצאה של עמיצור שהוזכרה לעיל, אם אין ל-R אידיאלים ניליים חד-צדדיים (למשל, אם R [[חוג ראשוני למחצה]] [[חוג עם זהויות|PI]]), אז <math>R[x]</math> פרימיטיבי למחצה.

==חוגי הילברט==
חוג קומוטטיבי ''R'' נקרא '''חוג הילברט''' (או '''חוג ג'ייקובסון''') אם כל [[אידיאל ראשוני]] ב-''R'' שווה לחיתוך של קבוצה כלשהי (לא דווקא סופית) של אידיאלים מקסימלים ב-''R''. במקרה כזה, חיתוך כל האידיאלים המקסימלים בחוג שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים בו. אך חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג חילופי שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, ולכן רדיקל ג'ייקובסון של חוג הילברט שווה לאוסף האיברים הנילפוטנטים שבו.
למשל, אם ''k'' הוא שדה אז חוג ה[[פולינום|פולינומים]] ב-''n'' משתנים מעל ''k'' - <math>\,k[x_1,\dots,x_n]</math> הוא חוג הילברט (במקרה ש''k'' [[שדה סגור אלגברית]], עובדה זו נובעת ישירות מ[[משפט האפסים של הילברט]], ומשמעותה ה[[גאומטריה|גאומטרית]] היא ש[[יריעה אלגברית]] [[יריעה אלגברית אי פריקה|אי פריקה]] שווה לאוסף הנקודות שעליה). לפיכך, כיוון שחוג זה הוא [[תחום שלמות]], הרי ש-<math>\,rad(k[x_1,\dots,x_n]) = 0</math>.
מנה של חוג הילברט היא חוג הילברט, ולפיכך רדיקל ג'ייקובסון של כל [[אלגברה אפינית]] (שהיא תחום שלמות) שווה ל-''0''. חוג קומוטטיבי ''R'' הוא חוג הילברט אם ורק אם כל המנות הראשוניות שלו הן פרימיטיביות למחצה. עובדה זו נובעת ישירות מההתאמה בין אידיאלים מקסימלים בחוג המנה ''R/P'' לאידיאלים מקסימלים ב-''R'' המכילים את ''P''.

==הלמה של נקאימה==
{{ערך מורחב|הלמה של נקאימה}}
ראיה נוספת לעובדת היותם של איברי רדיקל ג'ייקובסון קרובים ל-''0'' ניתנת על ידי הלמה של נקאימה:
אם ''M'' הוא ''R''-מודול נוצר סופית ואם <math>\,rad(R)\cdot M = M</math> אז <math>\,M=0</math>. יתר על כן, אם ''N'' תת-מודול של ''M'' כך שמתקיים <math>\,rad(R)\cdot M + N = M</math> אז בהכרח <math>\,N=M</math>. בניסוח אחר, לכל ''R''-מודול נוצר סופית ''M'', תת-המודול <math>\,rad(R)\cdot M</math> הוא [[תת-מודול קטן]].

== בעיות פתוחות ==
=== השערת קתה ===

ל[[השערת קתה]] ניסוחים רבים, מהם הקשורים ברדיקל של ג'ייקובסון. למשל, הבעיה שקולה לכך שחוג הפולינומים מעל חוג נילי יהיה תמיד רדיקל ג'ייקבסון (של עצמו); וגם לכך שאם חוג הפולינומים מעל R פרימיטיבי למחצה, אז הרדיקל הנילי העליון של R הוא אפס.

=== השערת ג'ייקובסון ===

ג'ייקובסון שער שאם R [[חוג נתרי|נתרי שמאלי]] אז הרדיקל <math>\ J = J(R)</math> מקיים <math>\ \cap_{n=0}^{\infty} J^n = 0</math>. לטענה זו, כלשונה, הובאה דוגמה נגדית (הרשטיין, 1965) ולכן השערת ג'ייקובסון מנוסחת עבור חוגים נתריים מימין ומשמאל. ההשערה בנוסח זה הוכחה עבור מחלקות שונות של חוגים, אך היא איננה ידועה באופן כללי.

===רדיקל ג'ייקובסון של אלגברות חבורה===

אחת הבעיות המרכזיות לגבי המבנה של [[אלגברת חבורה|אלגברות חבורה]] (של חבורות אינסופיות) היא השאלה האם האלגברה פרימיטיבית למחצה. ה[[מתמטיקאי]] ה[[ישראלי]] [[שמשון עמיצור]] הראה שהתשובה חיובית אם ''k'' ממאפיין אפס ואינו [[שדה המספרים האלגבריים|אלגברי]]. במקרה ש-''k'' הוא שדה אלגברי מעל הרציונליים, הבעיה עדיין פתוחה. אם השדה ממאפיין p ואין לחבורה איברים מסדר p, אז אלגברת החבורה פרימיטיבית למחצה אם השדה אינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני, וגם אם ה[[חבורה פתירה]].

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
*T.Y. Lam. ''A First Course in Non-commutative Rings''. Graduate Texts in Mathematics vol 131. 
*M.F. Atiyah, I.G. Macdonald. ''Introduction to Commutative Algebra''.
*N. Bourbaki. ''Éléments de Mathématique''.
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:דויד הילברט]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות במתמטיקה]]