הצגת המקור של הדף "קבוע אוילר-מסקרוני"

{{מפנה|קבוע אוילר|מספר אוילר}}
[[קובץ:Gamma-area.svg|ממוזער|250px|השטח הכחול הכלוא בין גרף של <math>1/\lfloor x\rfloor</math> לגרף של <math>1/x</math> בקטע מ-1 עד אינסוף שווה לקבוע אוילר מסקרוני.]]
{{סימון מתמטי}}'''קבוע אוילר''', הידוע גם כ'''קבוע אוילר-מסקרוני''' או כ'''קבוע מסקרוני''' הוא [[קבוע מתמטי]], שהשימוש העיקרי שלו הוא ב[[תורת המספרים]], המסומן באות [[גמא (אות)|גמא]] (<math>\,\gamma</math>) ומוגדר על ידי ה[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]:

:<math display="block">\gamma=\lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n</math>

כלומר קבוע אוילר הוא ההפרש ה[[אסימפטוטה|אסימפטוטי]] בין [[הטור ההרמוני]] ל[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]]. הפרש זה מתכנס באופן טבעי מכיוון ש-<math>\ln n = \int_1^n \frac{1}{x}\,dx</math> ולכן סכום <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}</math> הוא מן "גרסה בדידה" של הלוגוריתם הטבעי. מכאן נובעת דרך תיאור נוספת של הקבוע: <math>\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx</math>, כאשר <math>\lfloor x\rfloor</math> הוא [[הערך השלם]] של x.

ערכו של הקבוע הוא בקירוב: <math>\,\gamma=0.577215664901532860\ldots</math>. עדיין לא ידוע אם קבוע אוילר [[מספר רציונלי|רציונלי]] או [[מספר אי רציונלי|אי רציונלי]].

== היסטוריה ==
הקבוע הוגדר לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי [[לאונרד אוילר]] במאמרו "De Progressionibus harmonicus observationes" אשר פורסם בשנת [[1735]]. אוילר השתמש בסימון C עבור הקבוע, וחישב בראשונה את ערכו בדיוק של 6 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1761]] הוא הרחיב את החישוב, ופרסם אותו בדיוק של 16 ספרות אחרי הנקודה. בשנת [[1790]], הציע המתמטיקאי ה[[איטליה|איטלקי]] [[לורנצו מסקרוני]] את סימון הקבוע באות <math>\,\gamma</math> (גמא היוונית), וניסה להרחיב את ערכו של הקבוע עד ל-32 ספרות אחרי הנקודה, אם כי חישובים מאוחרים יותר גילו כי מסקרוני שגה בחישוב הספרה ה-20 אחרי הנקודה. המתמטיקאי ההודי [[סריניוואסה רמנוג'אן]] מצא טורים שונים המתכנסים ל-<math>\,\gamma</math>.

כפי שנאמר, לא ידוע האם קבוע אוילר הוא מספר רציונלי או לא. עם זאת, ניתוח [[שבר משולב]] מראה כי אם קבוע אוילר הוא רציונלי, הרי שהמכנה בשבר המגדיר אותו לא יהיה קטן מ-<math>10^{242080}</math>.

== תכונות ==
ניתן לקבל את ערכו של הקבוע גם על פי ה[[אינטגרל]]ים הבאים:

:<math>\gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln(x) }\,dx </math>

::<math> = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx </math>

::<math> = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx. </math>

אינטגרלים אחרים אשר מכילים את ערך <math> \gamma </math> הם:

:<math> \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln2) \sqrt{\pi} </math>

:<math> \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 +1/6 \pi^2 .</math>

ניתן לבטא את קבוע אוילר גם בעזרת [[אינטגרל כפול]]:

: <math> \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy.
 </math>

בדומה האינטגרל הכפול הבא שהוצג על ידי ג'. סונדאו (2005):

:<math> \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy. </math>

מראה כי ניתן להסתכל על <math>\ln \left ( \frac{4}{\pi} \right )</math> בתור "קבוע אוילר חילופי".

בשנת 1910, הציג ואקה את הסכום הבא:

:<math> \gamma = \sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{ \left \lfloor \log_2 m \right \rfloor}{m} </math> 

כאשר <math> \log_2 </math> הוא ה[[לוגריתם]] בבסיס 2 ו-<math> \left \lfloor \, \right \rfloor </math> היא [[פונקציית הערך השלם]].

ניתן לקבל את סדרתו של ואקה על ידי מניפולציה של אינטגרל Catalan.

:<math> \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx. </math>

==קשרים לפונקציות מיוחדות==
ניתן לבטא את קבוע אוילר גם כ[[טור (מתמטיקה)|טור אינסופי]] של איברים הכוללים ערכים של [[פונקציית זטא של רימן]] של מספרים שלמים וחיוביים:

:<math>\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m} </math>

:<math>= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}. </math>

סדרות נוספות הקשורות לפונקציית זטא של רימן:

:<math> \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ] </math>

::<math> = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ]. </math>

כמו כן, ניתן לבטא את הקבוע על ידי [[פונקציית בטא]] (במונחים של פונקציות גמא):

:<math> \gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]. </math>

שני גבולות השווים בערכם לקבוע אוילר-מסקרוני הם הגבול האנטי-סימטרי:

:<math> \gamma = \lim_{s \to 1} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) </math>

והגבול 

<math> \gamma = \lim_{x \to \infty} \left [ x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right ] = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^{n=1} \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right)</math>

סדרת זטא הרציונלית היא ביטוי קשור מאוד לנוסחה שהוצגה לעיל. אם נסיר מספר איברים מהסדרה לעיל, ניתן לקבל הערכה לגבול סדרה הקלאסי:

:<math>\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) - 
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}</math>
כאשר <math>\zeta(s,k)^{}_{}</math> היא [[פונקציית הורביץ-זטא]]. הסכום במשוואה זה מערב [[מספרים הרמוניים]], המסומנים ב-<math>\,H_n</math>. 
הרחבת מספר איברים בפונקציית הורביץ-זטא מביא אותנו למשוואה:

:<math>
H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon </math>, כאשר <math>0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.</math> 

לבסוף, ניתן לחשב את הקבוע כנגזרת של [[פונקציית גמא]] של אוילר:
:<math>\gamma = -\Gamma'(1)^{}_{}.</math>

==e בחזקת &gamma;==
הקבוע <math>\,e^\gamma</math> נחשב גם הוא לקבוע חשוב בתורת המספרים. מדי פעם, מסמנים קבוע זה גם ב<math>\ \gamma' </math> ומבטאים אותו בעזרת הגבול הבא, כאשר p<sub>n</sub> הוא ה[[מספר ראשוני|מספר הראשוני]] ה-n-י:

:<math>
e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}
</math> 
אשר מהווה ניסוח מחודש לשלישי מבין [[משפטי מרטן]]. הערך המספרי של <math>\,e^\gamma</math> הוא:
:<math>e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\dots</math>

מכפלות אינסופיות נוספות הקשורות לערך של קבוע זה הן:

:<math> \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n </math>

:<math> \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n. </math>

שתי המכפלות הללו נובעות פונקציית G של בארנס. כמו כן:

:<math> e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4} \cdots </math>

שהוצג על ידי [[ג'ונתן סונדאו]] על ידי שימוש ב[[פונקציה היפרגאומטרית|פונקציות היפר-גאומטריות]].

==מופעים==
קבוע אוילר-מסקרוני מופיע, בנוסף למקומות אחרים, גם ב:
* אי-שוויון עבור [[פונקציית אוילר]].
* שיעור צמיחה של [[פונקציית המחלקים]].
* נוסחת כפל עבור [[פונקציית גמא]].
* חישוב של [[פונקציית דיגאמה]].
* ביטויים הכוללים את האינטגרל המעריכי.
* האיבר הראשון בפיתוח [[טור טיילור]] עבור פונקציית זטא של רימן.

==ראו גם==
* [[קבוע מייזל-מרטנס]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* Jeffery C. Lagarias, 2013. '''Euler's constant: Euler's Work and Modern Developements''', Bulleting of the AMS, 50(4), 527-628
}}


==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|Euler-MascheroniConstant}}

{{מיון רגיל:אוילר-מסקרוני, קבוע}}

[[קטגוריה:קבועים מתמטיים|אוילר]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות במתמטיקה]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]