הצגת המקור של הדף "פונקציית דלתא של דיראק"

{{עריכה|סיבה=צריך לעבור על הפיסקה "תכונות"|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Dirac distribution PDF.svg|ממוזער|275px|בתיאור גרפי של פונקציית דלתא, גובה אינסופי מסומן באמצעות חץ.]]
'''פונקציית הדלתא של דיראק''', המסומנת <math>\ \delta (x)</math>, היא פונקציה מוכללת המקבלת, כביכול, את הערך [[אינסוף]] ב[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] x=0 ואת הערך [[0 (מספר)|אפס]] בכל שאר הנקודות, באופן כזה שה[[אינטגרל]] שלה על פני [[הישר הממשי]] שווה ל-[[1 (מספר)|1]].

הפונקציה, שהיא הכללה של [[הדלתא של קרונקר]], הומצאה על ידי הפיזיקאי [[פול דיראק]] והיא נמצאת בשימוש בעיקר ב[[פיזיקה]] וב[[הנדסה]]. ב[[עיבוד אותות]] היא מכונה '''פונקציית הלם'''. אף על פי שמה, מבחינה פורמלית היא איננה [[פונקציה ממשית]]. ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כ[[גבול (טופולוגיה)|גבול]] [[טופולוגיה חלשה|חלש]] של [[סדרה]] של פונקציות בעלות שיא בראשית הצירים.

== מבוא פורמלי ==
=== ההגדרה השימושית ===
לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה
: <math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx
= f(0)</math>
לכל [[פונקציה רציפה]] f. כאמור, אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת הערך אינסוף בנקודת האפס, כך שהאינטגרל על פני הישר הממשי על הפונקציה הוא 1. פונקציה ממשית כזו לא יכולה להתקיים, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין את תכונות הפונקציה.

[[קובץ:Dirac function approximation.gif|שמאל|מסגרת|פונקציית דלתא של דיראק כגבול של התפלגויות נורמליות <math>\delta_a(x) = \frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}</math> כאשר <math>a\to 0.</math>]]

באופן כללי יותר אפשר לרשום:
: <math> \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x-x_0) \, dx
= f(x_0)</math>

ניתן לראות את פונקציית דלתא כ[[פונקציית צפיפות]] של התפלגות מצטברת, שמקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:
::<math> H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & x < 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix}\right. </math>
להתפלגות מצטברת כזו קוראים [[פונקציית הביסייד]] (פונקציית מדרגה) ובאופן אינטואיטיבי אפשר לומר שפונקציית דלתא היא ה"[[נגזרת]]" שלה (כולל בנקודת האי-רציפות),
::<math>\ d H(x) = \delta (x) \ dx</math>
שכן עבור ערכים שונים מ-0 פונקציית הביסייד קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה, כלומר "שיפוע" אינסופי בנקודה. תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא, ובהתאם אחת הדרכים לממש אותה תהיה שימוש מתאים ב[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של הפרש של שתי פונקציות הביסייד.

בפועל, אין [[פונקציה]] אמיתית שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר לקבל אובייקטים דומים ו[[ריגורוזיות|ריגורוזיים]] באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: [[פונקציונל]] או [[אינטגרל לבג]] עבור [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] מתאימה.

=== מימושים ריגורוזיים לפונקציית דלתא ===
כ[[פונקציונל]], אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:
:<math>\ \forall \ \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \ : \ \delta[\phi] = \phi(0)\,
</math>
זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב ה[[פונקציה ממשית|פונקציות הממשיות]]. פונקציונל זה אמנם [[טרנספורמציה ליניארית חסומה|חסום]] ב[[נורמת הסופרמום]] אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) ב[[מרחב הילברט]] <math>\ L_2 </math>. יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת [[מידה אפס]], ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית. למרות זאת, מאחר שלפי [[משפט ההצגה של ריס]] אפשר לרשום כל פונקציונל ליניארי חסום כ[[מכפלה פנימית]] (ובמרחב <math>\ L_2</math> כ[[אינטגרל]]) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל. זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.

אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] באופן הבא:
* <math>\ \delta (A)=1</math> אם <math>0\in A</math>.
* <math>\ \delta (A)=0</math> אחרת.

על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום [[אינטגרל לבג]] ולקבל:
: <math> \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, d\delta(\{ x \})
= f(0)</math>
רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:
: <math> \forall f \in C[-\infty,\infty] \ : \ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, dH(x)
= f(0)</math>
כאשר H היא פונקציית הביסייד. את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של [[אנליזה פונקציונלית]] ו[[אינטגרל ספקטרלי|אינטגרלים ספקטרליים]].

[[קובץ:Delta-function02.png|שמאל|350px|המחשה של ההתכנסות]]
את פונקציית דלתא אפשר לממש גם כגבול של [[סדרת פונקציות]], המתכנסות אל פונקציית דלתא. באופן אינטואיטיבי, מדובר בסדרה של פונקציות ששואפות לצורת השפיץ: כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.

באופן פורמלי, סדרת פונקציות <math>\ \left\{ \delta_n (x) \right\}_{n=1}^{\infty} </math> תקרא "סדרת דלתא" אם:
# <math>\ \forall n \in \mathbb{N} \ : \ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta_n (x) dx} = 1</math>, דרישה זאת קובעת שלכל הפונקציות בסדרה יש משקל (שטח מתחת לעקומה) של 1.
# לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> קיים <math>\ N_0</math> מספיק גדול כך ש <math>\ \forall n > N_0 \ : \ \forall |x| \ge \varepsilon \ : \ \delta_n (x) = 0</math>.

לדוגמה נסתכל בסדרה הבאה:
: :<math> \delta_n(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & : & |x| > \frac{1}{2n} \\ n & : & |x| < \frac{1}{2n} \end{matrix}\right. </math>
למעשה, זוהי סדרה של [[מלבן|מלבנים]] או [[פונקציה מציינת|פונקציות מציינות]] על הקטע <math>\ \left[-1/(2n) , +1/(2n) \right]</math> מורמות לגובה n.
נראה שזוהי סדרת דלתא:
# שטח: כל מלבן הוא ברוחב <math>\ 1/n</math> ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1 לכל n.
# קל גם לראות שסדרה זו מקיימת גם את הדרישה השנייה.
לכן זוהי סדרת דלתא של פונקציות ממשיות ש[[התכנסות נקודתית|מתכנסת]] במובן החלש לפונקציית דלתא של דיראק (על אף שזו אינה פונקציה ממשית בעצמה). בשרטוט לעיל אפשר לראות המחשה של סדרה זו וכיצד היא נהפכת לשפיץ צר וגבוה.

== רשימת תכונות ==
* <math>\delta(t) = \begin{cases} +\infty, & t = 0 \\ 0, & t \ne 0 \end{cases}</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty \delta(t) \, dt = 1</math>
* <math>\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)\operatorname{d}\!\tau=H(t) </math>
* <math>\ d H(t) = \delta (t) \ dt</math>
* <math>\ \delta(t) = \delta(-t)</math>
* <math>\ \delta(at) = \frac{1}{|a|} \delta (t)</math>
*<math>x(t) \delta(t\pm t_0) = x(\mp t_0)\delta(t\pm t_0)</math>
* <math>\int_{-\infty}^\infty x(t) \delta(t\mp t_0) \, dt = x(\pm t_0)</math>
* <math>\int_{a}^b x(t) \delta(t\mp t_0) \, dt = \begin{cases} x(\pm t_0) &, t_0\in[a,b] \\ 0 &, t_0\notin[a,b] \end{cases}</math>
* <math>x(t) * \delta(t\mp t_0) = x(t\mp t_0)</math>

== הוכחת חלק מהתכונות ==

מעצם הגדרתה מקיימת פונקציית דלתא של דיראק את תכונת הנרמול: <math>\int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx} = 1</math>.

כמו כן היא [[פונקציות זוגיות ואי-זוגיות|פונקציה זוגית]]: <math>\ \delta(x) = \delta(-x)</math>.

באמצעות [[החלפת משתנים]] ב[[שיטות אינטגרציה|אינטגרציה]] ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש- <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>.
: ''הוכחה:'' נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם <math>-a</math> כארגומנט הפונקציה). כעת,
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (ax) dx = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(y/|a|) \delta (y) dy = \frac{1}{|a|}f(0)</math> כאשר ביצענו את החלפת המשתנים <math>y=ax</math>. {{כ}} <math>\ \blacksquare</math>

באופן כללי יותר מתקיים ש-
: <math>\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math>
כלומר, תחת האינטגרל מתקיים:
: <math>
\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx
= \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}
</math>
כאשר x<sub>i</sub> הם ה[[שורש (של פונקציה)|שורשים]] של g, כלומר: <math>\ g(x_i)=0</math>.
: ''הוכחה:'' מאחר שבכל [[קטע (מתמטיקה)|קטע]] I בו <math>g(x) \neq 0</math> האינטגרל <math>\int_I f(x) \delta( g(x)) dx = 0</math> אפשר להפריד את האינטגרל לסכום של אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx</math>
: מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע ל[[קירוב|קרב]] את g על ידי [[קירוב ליניארי]]: <math>g(x) = g'(x_i)(x-x_i)</math>. נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה <math>\ \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta (x)</math>, נקבל
: <math>\sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (g(x)) dx = \sum_{i} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta \Big( g'(x_i)(x-x_i) \Big) dx = \sum_{i} \frac{1}{|g'(x_i)|} \int_{x_i-\varepsilon}^{x_i + \varepsilon} f(x) \delta (x-x_i) dx = \sum_i \frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}</math>
: כנדרש. <math>\ \blacksquare</math>

עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות [[אינטגרציה בחלקים]] ולקבל ש : <math>\delta'[\phi] = -\phi'(0)\,</math>.
* מכאן נובע: <math>\delta'(x)=-\frac{\delta(x)}{x}</math>.
* כמו כן: <math>\delta^{(n)}[\phi] = (-1)^n \phi^{(n)}(0)\,</math>.

[[התמרת פורייה]] של הפונקציה היא 1, ובהתמרה ההפוכה:
:<math>\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}\,dk</math>

== שימושים ==
* ב[[פיזיקה]], פונקציית דלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של [[מטען חשמלי]] [[נקודה (גאומטריה)|נקודתי]] או [[מסה]] נקודתית.
* ב[[הנדסת חשמל]], [[עיבוד אותות]] ואנליזת פורייה, פונקציית דלתא (הנקראת פונקציית הלם) משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה, ו[[מערכת ליניארית|מערכות ליניאריות]] מאופיינות על ידי התגובה שלהן להלם.
* ב[[הסתברות]], פונקציית דלתא היא [[פונקציית צפיפות]] המתארת [[התפלגות מנוונת]].
* ב[[מכניקת הקוונטים]] משתמשים לעיתים בפונקציות דלתא כבסיס למרחב ה[[מרחב (פיזיקה)|מקום]] או ה[[תנע]]. הפונקציה הדואלית לפונקציית דלתא מוזזת היא [[גל מישורי]]: <math>\ e^{ipx/\hbar}</math>.

== ראו גם ==
* [[פונקציית מדרגה]]
* [[הדלתא של קרונקר]]
* [[תורת שטורם-ליוביל]]
* [[מסרק דיראק]]

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקיספר=תורת הבקרה/פונקצית הלם|תורת הבקרה:פונקצית הלם}}
* [http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html פונקציית דלתא] באתר [http://mathworld.wolfram.com/ wolfram]
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2012/06/blog-post.html פונקציית דלתא מרחבית] בבלוג "[http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית]"
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]
[[קטגוריה:עיבוד אותות]]