הצגת המקור של הדף "ספירה (גאומטריה)"

ב[[גאומטריה]] וב[[טופולוגיה]], '''ספֵירה''' היא קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת ("המרכז") הוא קבוע. ספירה היא ה[[שפה (טופולוגיה)|שפה]] של [[כדור (טופולוגיה)|כדור]]. בגאומטריה, המונח "ספירה" מתייחס בדרך כלל לספירה הדו-ממדית, שהיא שפתו של הכדור התלת ממדי (ראו איור משמאל). באופן כללי, הספירה המתאימה לכדור n-ממדי היא [[יריעה]] מ[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] n-1. כך למשל הספירה החד-ממדית היא ה[[מעגל]], שפתו של ה[[עיגול]], שהוא הכדור הדו-ממדי. בטופולוגיה יש חשיבות לספירה מכל ממד שהוא; את הספירה מממד n מסמנים ב- <math>\ S^n</math>.
[[קובץ:Sphere_rotating.gif|שמאל|ממוזער|200px|ספירה מסתובבת]]

==גאומטריה==
ב[[המרחב האוקלידי|מרחב האוקלידי]] ה-n ממדי, '''ספירה''' היא קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה - מרכז הספירה - הוא [[מספר חיובי|קבוע חיובי]]. קבוע זה נקרא ה[[רדיוס]] של הספירה. כאשר r=1 הספירה נקראת '''ספירת היחידה'''. המימד של ספירה במרחב ה-n ממדי הוא n-1. 
 
===משוואה מגדירה ותאור פרמטרי===
המשוואה המתארת ספירה דו-ממדית שמרכזה בנקודה <math>\ (x_0 , y_0 , z_0 )</math> ורדיוסה r היא 
<math>(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z -  z_0 )^2 =  r^2 \,</math>. ניתן להציג את הספירה ב[[קואורדינטות ספריות]], שבהן כל נקודה מתוארת באמצעות שתי זוויות: 
<math> x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \phi </math>, 
<math> y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi \,</math> ו- 
<math> z = z_0 + r \cos \theta  \,</math> (כאשר  <math>0 \leq \theta \leq \pi </math>, <math> -\pi < \phi \leq \pi</math>).

===מושגים קשורים===
שתי נקודות על הספירה נקראות [[נקודות אנטיפודיות]] אם הקו הישר שעובר דרכן הוא [[קוטר]]. לכל נקודה על הספירה קיימת נקודה אנטיפודית יחידה, והמרחק ביניהן הוא המרחק המקסימלי בין כל שתי נקודות על הספירה. אם מרכז הספירה הוא ראשית הצירים אז הנקודה האנטיפודית ל- <math>\vec x</math> היא <math>-\vec x</math>.

==הספירה ה-n ממדית==
ניתן להכליל את הספירה על ידי ההצגה הגאומטרית שלה כשפה של הכדור התלת ממדי. לכל n [[מספר טבעי|טבעי]] הספירה ה-n ממדית מוגדרת להיות השפה של הכדור ה-n+1 ממדי (תמיד ממד הכדור שהספירה חוסמת גדול באחד מממד הספירה). ממד זה הוא ממד הספירה כ[[יריעה טופולוגית]]. 
כך מתקבל (עבור הרדיוס r):
*הספירה ה-0 ממדית היא זוג הנקודות {r,-r}
*הספירה החד-ממדית היא המעגל ברדיוס r.
*הספירה הדו-ממדית היא הספירה הרגילה, מעטפת הכדור התלת ממדי.
*הספירה התלת ממדית היא אוסף נקודות במרחב הארבע-ממדי שמרחקן ממרכז הספירה הוא r. 
את ספירת היחידה ה-n ממדית מסמנים ב-<math>\mathbb{S}^n</math>. כל הספירות ה-n ממדיות [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפיות]] ולכן ברב השימושים אין הבדל בין ספירה כלשהי לספירת היחידה. לפי נוסחת המרחק האוקלידי, ספירת היחידה ה-n ממדית שממורכזת בראשית הצירים היא
:<math> \mathbb{S}^n=\ \{ (x_1,x_2, \dots , x_n, x_{n+1} ) \in \mathbb{R}^{n+1} |\  \sum_{i=1}^{n+1} x_i ^2  =1 \ \}</math>.

===שטח פנים ונפח של ספירה n-ממדית===

הנפח הלכוד בתוך ספירה דו-ממדית הוא <math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>. שטח הפנים שלה <math>A=4 \pi r^2</math>. באופן כללי יותר, שטח הפנים של ספירה n-1 ממדית ברדיוס 1 הוא <math>2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}</math>, כאשר <math>\ \Gamma(z)</math> היא [[פונקציית גמא]] של [[לאונרד אוילר|אוילר]].

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של ספירה n-1 ממדית: <math>
A =
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}
</math>,

ונפח הכדור התחום על ידי הספירה הוא שטח הפנים כפול <math>{r \over n}</math>, כלומר <math>
V = 
  \begin{cases}
    \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} ,      & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
    \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ is odd}.
  \end{cases}
</math>.

===ספירה במרחבים מטריים===
הספירה מוגדרת כאוסף הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, הוא קבוע. בהתאם לכך הכללת מושג הספירה ל[[מרחב מטרי]] כללי X היא טבעית- הספירה שמרכזה x ורדיוסה r היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-x הוא בדיוק r. 
::<math>\ S(x,r)= \left\{ y\in X : d(x,y) =r \right\} = \partial B(x,r)</math>
זוהי [[קבוצה סגורה]] וחסומה. ייתכן שהספירה תהיה קבוצה ריקה, כך לדוגמה במרחב <math>\Z^2</math> עם ה[[מטריקה אוקלידית|מטריקה האוקלידית]] הספירה <math>S(0,\sqrt3)</math> היא קבוצה ריקה כי לא קיימים <math>x,y \in \Z</math> כך ש- <math>\ x^2 + y^2 = \sqrt3^2=3</math>.

===ספירות טופולוגית===
קבוצה ב[[מרחב טופולוגי]] כללי נקראת ספירה n-ממדית אם היא [[הומאומורפיזם|הומאומורפית]] לספירה ה-n ממדית במרחב האוקלידי. ככזו היא [[יריעה טופולוגית]] מממד n, אבל לא בהכרח [[יריעה חלקה|חלקה]]. יתר על כן קיימות ספירות טופולוגיות שהן גם [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]], אבל אינן [[דיפאומורפיזם|דיפאומורפיות]] לספירה ה-n ממדית הרגילה.

'''אפיון קלין''' {{אנ|Kline sphere characterization}} מאפיין את הספירה הדו-ממדית כמרחב הטופולוגי המטריזבילי הקשיר מקומית היחיד (פרט לנקודה) המופרד על ידי כל מסילה רציפה ושאינו ניתן להפרדה על ידי שתי נקודות.

==ראו גם==
*[[כדור (גאומטריה)]]
*[[כדור (טופולוגיה)]]
*[[קואורדינטות כדוריות]]
*[[גאומטריה ספירית]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Spheres|שם ויקישיתוף=ספירה}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:יריעות טופולוגיות]]
[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים יחידאים]]