הצגת המקור של הדף "סדרת פל"

'''סדרת פל''' ו'''סדרת פל-לוקאס''' הן [[סדרה (מתמטיקה)|סדרות]] של [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], שהן מקרים פרטיים של [[סדרת לוקאס]]. מספר טבעי המשתייך לסדרת פל נקרא '''מספר פל'''. מספרי פל מוכרים כבר מן [[העת העתיקה]], והם משמשים בעיקר לחישוב קירובים ל[[שורש ריבועי|שורש הריבועי]] של 2. סדרת פל, יחד עם [[משוואת פל]], יוחסו בטעות על ידי [[לאונרד אוילר]] ל[[ג'ון פל]].

== הגדרת הסדרה ==
סדרת פל מוגדרת על-פי הנוסחה ה[[רקורסיה|רקורסיבית]] 
:<math>P_n=\begin{cases}0&\mbox{if }n=0;\\1&\mbox{if }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>

כך מתקבלים המספרים [[0 (מספר)|0]], [[1 (מספר)|1]], [[2 (מספר)|2]], [[5 (מספר)|5]], [[12 (מספר)|12]], [[29 (מספר)|29]], [[70 (מספר)|70]], 169, 408, 985, .... 
== תכונות ==
*היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ל[[יחס הכסף]], <math>\ 1+\sqrt{2}</math>.
באיבר התשיעי הקירוב הוא 
:<math>\frac{985}{408}=2.4142\approx\sqrt{2}+1</math>

* האיבר ה-(2n+1) שווה לסכום ריבועי האיברי ה-nי והאיבר ה-(n+1).
::::<math> P_{2n+1}=P_{n+1}^2 + P_{n}^2.</math>

*תכונה מעניינת של מספרי פל היא שהביטוי <math>\ 2\cdot P_n^2 + (-1)^n</math> הוא [[מספר ריבועי]], כך שהם פותרים את ערכי y  של [[משוואת פל]] <math>\ x^2 - 2y^2 = \pm 1</math>. עבור איברי סדרת פל הפותרים את y, ועבור האיברים המקבילים להם ל-x, היחס  <math>\tfrac{x}{y}</math> שואף לשורש הריבועי של 2.
:<math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>
ערכי ה-x המתקבלים שווים לסכום של איבר פל המקביל להם ולאיבר פל שלפניו

::::<math>\tfrac{x}{y}=\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>.

והם מקיימים את אותם תנאים של איברי הסדרה, קרי, היחס ביניהם הוא יחס הכסף, וכל איבר x שווה לפעמיים קודמו ועוד האיבר הקודם לקודמו.החל מהאיבר הרביעי  או החמישי המנה <math>\tfrac{x}{y}</math> שווה בקירוב טוב לשורש הריבועי של שתיים.

*כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי [[סדרה הנדסית|סדרות הנדסיות]]:
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>

* כל מספר פל אי זוגי, למעט הראשון, הוא חלק מ[[שלשה פיתגורית]]:
:<math>    2P_{n}P_{n+1} , P_{n+1}^2 - P_{n}^2 , P_{n+1}^2 + P_{n}^2 .</math>

כאשר  האיבר השלישי בשלשה שווה לאיבר ה-(2n+1):  
:<math>P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}.</math>
שלשות פיתגוריות המושגות בדרך זו הן למשל:
:(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ...

==סדרת פל-לוקאס==

סדרת פל לוקאס מוגדרת על ידי אותה נוסחת רקורסיה כמו סדרת פל, אך יש לה תנאי פתיחה שונים: <math>\ P_1 = P_2 = 2</math>, והיא ממשיכה במספרים [[2 (מספר)|2]], [[2 (מספר)|2]], [[6 (מספר)|6]], [[14 (מספר)|14]], [[34 (מספר)|34]], [[82 (מספר)|82]], 198, 478, ...

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:סדרות של שלמים|פל]]