הצגת המקור של הדף "משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)"

בענף ה[[מתמטיקה|מתמטי]] של [[גאומטריה דיפרנציאלית]], '''משפט אוילר''' הוא תוצאה על ה[[עקמומיות]] של [[עקומה|עקומ]]ים על משטח. המשפט מראה כי קיימים ''כיוונים ראשיים'' (principle directions) בהם המשטח מתעקל במידה מרבית ובמידה מזערית, וקובע את הקשר המתמטי בין ערכי העקמומיות הראשיים (principle curvatures) - אותם ערכים מקסימליים ומינימליים של העקמומיות - לעקמומיות של המשטח בכיוון שרירותי. המשפט נקרא על שם [[לאונרד אוילר]] שהוכיח אותו ב-1760{{הערה|Recherches sur la courbure des surfaces (אוילר, 1760).}}.

בניסוח מתמטי, יהי ''M'' משטח ב[[מרחב אוקלידי]] תלת ממדי, ותהי ''p'' נקודה על ''M''. '''מישור נורמלי''' דרך הנקודה ''p'' הוא מישור העובר דרך ''p'' ומכיל את ה[[וקטור נורמלי|ווקטור הנורמל]] למשטח ''M'' בנקודה. דרך כל [[משיק|ווקטור יחידה משיק]] ל-M ב- ''p'' עובר מישור נורמלי ''P''<sub>''X''</sub> אשר חותך עקום מ-''M''. לעקום הזה יש עקמומיות מסוימת &kappa;<sub>''X''</sub> כאשר מסתכלים עליו כעקום במישור ''P''<sub>''X''</sub>. בהינתן שלא כל ה-&kappa;<sub>''X''</sub> שווים, יש ווקטור יחידה מסוים ''X''<sub>1</sub> עבורו ''k''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;&kappa;<sub>''X''<sub>1</sub></sub> הוא מרבי, ויש ווקטור יחידה מסוים ''X''<sub>2</sub> עבורו ''k''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;&kappa;<sub>''X''<sub>2</sub></sub> הוא מזערי. משפט אוילר מאשר שהכיוונים ''X''<sub>1</sub> ו-''X''<sub>2</sub> [[אנך|ניצב]]ים זה לזה, ויותר מכך, שאם ''X'' הוא כיוון אחר על המישור המשיק למשטח, שיוצר זווית &theta; עם ''X''<sub>1</sub>, אז:

<math>\kappa_X = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta.\,</math>,

בפרט, כאשר מציבים <math>\theta = 0, \pi/2 </math> מקבלים את ערכי העקמומיות הראשיים; כלומר הם אכן ניצבים זה לזה.

== אינטואיציה והוכחת המשפט ==
{{להשלים}}
[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|שמאל|ממוזער|300px|ערכי העקמומיות הראשיים של משטח בסביבת נקודת אוכף שלו. באיור מוצגים המישור המשיק ושני מישורים נורמלים המתאימים לכיוונים הראשיים של המשטח בנקודת האוכף.]]
אוילר גילה את המשפט שלו דרך התבוננות "מושכלת" בקירובים של ההתנהגות המקומית של משטחים <math>z = f(x,y)</math>. ראשית יש להבחין שערכי העקמומיות לא תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות, לכן נציב את הראשית שלה בנקודה (''x'',''y'') ונמקם אותה כך שמישור ''xy'' יתלכד עם [[המרחב המשיק|המישור המשיק]] למשטח בנקודה (''x'',''y''). קיבלנו משטח שמתאפס ב-(0,0) ושכל נגזרותיו הראשונות מתאפסות גם הן באותה נקודה. כיוון שעקמומיות היא גודל מסדר שני, הגיוני לנסות לקרב את המשטח באמצעות משטחים ממעלה שנייה; המבנה המקומי של משטח יכול להיות אליפטי, [[פרבולואיד|פרבולואידי]], או היפרבולי. המקרה הפרבולואידי מתרחש על פני כדור (העקמומיות בכל כיוון זהה), האליפטי באליפסואיד וההיפרבולי כאשר מדובר במשטח בסביבת [[נקודת אוכף]] שלו. אם נחתוך מהמשטח עקומים על ידי העברת מישורים מקבילים למישור ''xy'' שקרובים לו באופן אינפיניטסימלי (מישורים מהצורה <math>z = h</math>), נקבל [[אליפסה]], [[מעגל]] או שני ענפים [[היפרבולה|היפרבוליים]] (במקרה ההיפרבולי העקום אינו סגור משום שבנקודת אוכף חלקים שונים של המשטח נמצאים בצדדים שונים של המישור המשיק).

דרך פורמלית לראות את כל האמור לעיל, היא דרך [[טור טיילור|פיתוח טיילור]] לסדר שני של הפונקציה: <math>z = h = f(x,y) = \frac{{1}} {{2!}}f_{xx}x^2 + f_{xy}xy + \frac{{1}} {{2!}}f_{yy}y^2</math>. קיבלנו ביטוי מהצורה <math>h = ax^2 + bxy + cy^2</math> ([[תבנית ריבועית]]) שאותו ניתן להביא לצורתו הקנונית המוכרת <math>\alpha x'^2 + \beta y'^2</math> באמצעות הצבות ליניאריות מתאימות <math>x' = \alpha_1x + \beta_1y, y' = \alpha_2x + \beta_2y</math>. הכיוונים הראשיים של המשטח, אותם כיוונים בהם ערך העקמומיות מקסימלי ומינימלי, הם למעשה כיווני הצירים של [[חתך חרוט|חתך החרוט]] (הבאה לצורה הקנונית שקולה למיקום ציר ה-x וציר ה-y על הכיוונים הראשיים של המשטח). הערך המרבי של העקמומיות הוא בכיוון הציר המשני שלו ואילו הערך המזערי בכיוון הציר הראשי. כעת יש לזהות את המקדמים בצורה הקנונית כערכי העקמומיות הראשיות <math>k_1</math> ו-<math>k_2</math> - המקדמים הללו הם הנגזרות הכיווניות מסדר שני בכל אחד מהכיוונים הראשיים. השלב האחרון בהוכחה הוא קבלת השוויון: <math>h = \frac {{1}}{{2}}k_X(x^2 + y^2) = \frac {{1}}{{2}}k_1 x^2 + \frac {{1}}{{2}}k_2 y^2 </math>, כאשר <math>k_X</math> הוא העקמומיות בכיוון שרירותי. כאשר מבחינים כי <math>cos^2\theta = x^2/(x^2 + y^2) </math> (כנ"ל לגבי סינוס הזווית) מקבלים את התוצאה של אוילר: <math>\kappa_X = k_1\cos^2\theta + k_2\sin^2\theta\,</math>.


הפרוצדורות בהן אוילר השתמש לקבלת המשפט שקולות לפרוצדורות המודרניות הנעזרות ב[[הסיאן|מטריצת ההסיאן]].

== דוגמאות ==
* על פני [[כדור (גאומטריה)|כדור]], הצורה הריבועית של הנוסחה של אוילר עקבית עם העובדה שהעקמומיות בכל כיוון זהה ושווה לעקמומיות של [[מעגל גדול]]. מתקיים <math>k_1 = k_2 = \frac {{1}}{{R}}</math> ואכן: <math>k_n = k_1 cos^2\theta + k_2 sin^2\theta = k_1\cdot (cos^2\theta + sin^2\theta) = k_1 = \frac {{1}}{{R}}</math>.
* על פני [[גליל (גאומטריה)|גליל]] העקמומיות בכיוון אחד היא <math>k_1 = \frac {{1}}{{r}}</math> (כאשר ''r'' רדיוס הבסיס) והעקמומיות בכיוון הניצב היא 0, לכן העקמומיות בכיוון שרירותי מקיימת: <math>k_n = k_1 cos^2\theta</math>.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]