הצגת המקור של הדף "כדור (גאומטריה)"

[[קובץ:Sphere wireframe 10deg 10r.svg|ממוזער|250px|[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] – [[משטח (טופולוגיה)|פני השטח]] של כדור]]
'''כדור''' הוא [[צורה גאומטרית|גוף גאומטרי]] המורכב מן הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה קבועה הוא לכל היותר מספר קבוע מסוים, הקרוי [[רדיוס]]. פני השטח של הכדור הן [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]. כדור הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[עיגול]] למרחב מממד כלשהו. לעיתים קרובות המלה כדור מיוחדת דווקא לכדור במרחב התלת-ממדי.

כדור הכולל את שפתו (ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]]) נקרא '''כדור [[קבוצה סגורה|סגור]]'''. כדור ללא שפתו נקרא '''כדור [[קבוצה פתוחה|פתוח]]'''.

לערך העוסק בפנים של הספירה ב[[מרחב מטרי]] כלשהו, ראו '''[[כדור (טופולוגיה)]]'''.

==משוואת הכדור==
במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אלמנט מרחק ds נתון על ידי ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] הבאה:
:<math>\!\, ds = \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2 }</math>
ולכן מההגדרה הבאה של הכדור
[[מקום גאומטרי|המקום הגאומטרי]] של כל הנקודות שנמצאות במרחק קטן או שווה ל-R מנקודה מסוימת "המרכז"
נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור היא
:<math>\!\, x^2 + y^2 + z^2 \le R^2</math>
כאשר x,y,z הם ה[[קואורדינטות]] ב[[מערכת צירים קרטזית]] של נקודה על פני הכדור ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק R קוראים ה[[רדיוס]] ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו <math>\!\,(x_0,y_0,z_0)</math> היא
:<math>\!\, (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \le R^2</math>

==תכונות גאומטריות==
* [[שטח פנים|שטח הפנים]] של כדור בעל רדיוס '''r''' הוא <math>A = \ 4\pi r^2</math>.
* ה[[נפח]] של כדור בעל רדיוס '''r''' הוא <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math>.

הכדור הוא הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר ([[אי-שוויון איזופרימטרי]]). לדוגמה, טיפת [[מים]] שבשל [[מתח פנים|מתח הפנים]] שלה, רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

==הכללה ל-n ממדים==
ניתן להכליל את הכדור ל[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] כללי n (כאשר n [[מספר שלם]] חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ- '''''B''<sup>''n''</sup>''' והוא מוגדר כאוסף הנקודות ב[[מרחב אוקלידי]] n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-''r'' מנקודה כלשהי במרחב ( r, ה[[רדיוס]], הוא [[מספר ממשי]] חיובי כלשהו).

ניתן לתאר את משוואת הכדור על ידי שימור ב-[[וקטור (פיזיקה)|וקטור]] שיתאר את כל הנקודות על הכדור, כאשר אורכו קבוע, ולהגיע למשוואה <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2=\sum_{i=1}^n x_i^2=R^2</math>.

בפרט:
* 0-כדור הוא נקודה.
* 1-כדור הוא [[קטע]] בישר.
* 2-כדור הוא עיגול במישור.
* 3-כדור הוא הכדור התלת-ממדי.
* 4-כדור הוא אוסף כל הכדורים על פני מימד רביעי <math>n</math>, כאשר רדיוסם הוא <math>\sqrt{R^2-n^2}</math> (ניתן לקבל זאת מנוסחת הכדור ב-<math>n</math> ממדים).

שטח הפנים של n-כדור ברדיוס 1 הוא <math>2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}</math>, כאשר <math>\ \Gamma(z)</math> היא [[פונקציית גמא]].

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור:

:<math>
A =
 \begin{cases}
 \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
 \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)}, & \text{if } n \text{ is odd}.
 \end{cases}
</math>

נפח הכדור שטח הפנים כפול <math>{r \over n}</math>. בצורה מפורשת, הנפח נתון על ידי:

:<math>
V =
 \begin{cases}
 \displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is even}; \\ \\
 \displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}, & \text{if } n \text{ is odd}.
 \end{cases}
</math>

==ראו גם==
* [[כדור (טופולוגיה)]]

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://hebrew-academy.org.il/2014/07/09/גלגוליו-של-כַּדּוּר/ על המילה 'כדור'], באתר [[האקדמיה ללשון העברית]]
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]
[[קטגוריה:כדורים|*]]
[[קטגוריה:גופי סיבוב]]